L^p 空間 - INFINITY -数学とかプログラミングとか-

$L^p,(1\leq p<\infty)$ とは、 $\mathcal{L}^p$ と $L_0$ の商空間である、つまり $L^p=\mathcal{L}^p/L_0$ である。

$\mathcal{L}^p$ と $L_0$ って(;・∀・) ﾅﾝ！ (; ∀・)・ﾃﾞｽ!! (; ∀ )・・ｶｰ!!!

まず、 $\mathcal{L}^p$ について。

$\mathcal{X}$ 上の複素数値関数 $f$ がp乗可積分であるとは、
$f$ が可測でかつ、

$\int_{\mathcal{X}} |f(x)|^p d\mu (x)<\infty$

を満たすことをいう。

$\mathcal{X}$ 上のp乗可積分関数の全体の集合を $\mathcal{L}^p$ と表す。

次に、 $L_0$ について。

$L_0=\{f \in \mathcal{L}^p\qquad |\qquad || f ||_p=0 \qquad a.e\}$

ここで、 $\mathcal{L}^p$ 上のノルムを

$||f||_p:=(\int_{\mathcal{X}} |f(x)|^p d\mu (x))^{1/p}$

と定義する。

商空間 $L^p$ の元の具体的表示がほしいので、書いておくと、

$[f]=\{ f + l |l \in L_0\}=f+L_0$

である。

それに加え、 $||[f]||_p$ は $L^p$ 上のノルムであり、 $L^p$ はノルム $||\cdot ||_p$ について完備になる。したがって、 $L^p$ は、ヒルベルト空間である。

$F\in L^2(\mathbb{R},dt)$ と書かれていたら、どういう意味だろう？

$L^2$ の元は、剰余類の集合であるはずなのに、このように書かれている場合はどうしたらよいのだろうか？

これが、「同一視」というものらしいが、不明である。

p.s.

$[f]=[g]$ と $f(x)=g(x) a.e.$ は同値である。

このため、 $L^p$ の元は関数とみなされる。