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INFINITY -数学とかプログラミングとか-

統計とプログラムを使って役に立たせたい

TeX用コマンド入力を支援するための辞書をご利用ください。
sanctuary's blogは,適当なことが書いてあります。

L^p 空間

 L^p,(1\leq p<\infty)とは、\mathcal{L}^pL_0の商空間である、つまりL^p=\mathcal{L}^p/L_0である。

\mathcal{L}^pL_0って(;・∀・) ナン! (; ∀・)・ デス!! (; ∀ )・・ カー!!!

まず、\mathcal{L}^pについて。

 \mathcal{X}上の複素数値関数fがp乗可積分であるとは、
fが可測でかつ、

\int_{\mathcal{X}} |f(x)|^p d\mu (x)<\infty

を満たすことをいう。

\mathcal{X}上のp乗可積分関数の全体の集合を\mathcal{L}^pと表す。


次に、L_0について。

L_0=\{f \in \mathcal{L}^p\qquad |\qquad || f ||_p=0 \qquad a.e\}

ここで、\mathcal{L}^p上のノルムを

||f||_p:=(\int_{\mathcal{X}} |f(x)|^p d\mu (x))^{1/p}

と定義する。


商空間L^pの元の具体的表示がほしいので、書いておくと、

[f]=\{ f + l |l \in L_0\}=f+L_0

である。

それに加え、||[f]||_pL^p上のノルムであり、L^pはノルム||\cdot ||_pについて完備になる。したがって、L^pは、ヒルベルト空間である。


F\in L^2(\mathbb{R},dt)と書かれていたら、どういう意味だろう?

L^2の元は、剰余類の集合であるはずなのに、このように書かれている場合はどうしたらよいのだろうか?

これが、「同一視」というものらしいが、不明である。

p.s.

[f]=[g] f(x)=g(x)  a.e.は同値である。

このため、L^pの元は関数とみなされる。