INFINITY -数学とかプログラミングとか-

統計とプログラムを使って役に立たせたい

TeX用コマンド入力を支援するための辞書をご利用ください。
sanctuary's blogは,適当なことが書いてあります。

最小値の分布

2.

最大値の分布は簡単にわかるが、最小値の分布はちょっとという感じになったので。

出発点がミソ。

1-F_{y_1}(y_1)
=P(\min\{x_1,\cdots ,x_K\}> y_1)
=P(x_1>y_1,\cdots ,x_K>y_1)
(x_1,\cdots ,x_Kの中の最小値とK-1個の確率変数が共にy_1より大きくなければならない)
=P(x_1>y_1)\cdots P(x_K>y_1) (独立性)
=(1-F_{x}(y_1))^n (同分布)

よって,
F_{y_1}(y_1)=1-(1-F_{x}(y_1))^n
である.

密度関数は,
\frac{d}{dy_1}F_{y_1}(y_1)=n(1-F_{x}(y_1))^{n-1}\frac{d}{dy_1}F_{x}(y_1)=n(1-F_{x}(y_1))^{n-1}p_{x}(y_1)
である.