尖度(kurtosis)ってやつは。 - INFINITY -数学とかプログラミングとか-

そういえば、kurtosisの加法性の計算がおかしいと思ったら、平均が0だということを忘れてました。
そして、白色化されていたら、2次モーメントは1ですね。

やってみましょう。xとyが独立なとき、(今、白色性は仮定しません)
$kurt(x+y)=kurt(x)+kurt(y)$
が成立する。ってやつなんですけど、普通に展開するだけですね。

(左辺)= $E(x+y)^4-3(E(x+y)^2)^2$ (展開して独立性を考慮するとxとyの一次の項が出てくるので、そこは平均が0になる)
$=Ex^4+6Ex^2Ey^2+Ey^4-3((Ex^2)^2+2(Ex^2)(Ey^2)+(Ey^2)^2)$
$=kurt(x)+kurt(y)$

オッケイですね。

それと、 $kurt(cx)=c^4kurt(x)$ も成立します。(これは期待値の定義から明らかですね)

キュムラントもこのような性質を満たすようです。(まだ計算してない)

話が前後するが、白色とは、

$EX=0,R_X=C_X=\sigma^2 I$

となる確率ベクトルXのことを言います。( $\sigma^2$ は1となることが多いようです。また、 $\sigma^2$ は、Xの成分に共通のする2次モーメントのことを言います。 $\sigma_{x_i}^2$ とかは考えないんですかね。)