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INFINITY -数学とかプログラミングとか-

統計とプログラムを使って役に立たせたい

TeX用コマンド入力を支援するための辞書をご利用ください。
sanctuary's blogは,適当なことが書いてあります。

尖度(kurtosis)ってやつは。

そういえば、kurtosisの加法性の計算がおかしいと思ったら、平均が0だということを忘れてました。
そして、白色化されていたら、2次モーメントは1ですね。

やってみましょう。xとyが独立なとき、(今、白色性は仮定しません)
kurt(x+y)=kurt(x)+kurt(y)
が成立する。ってやつなんですけど、普通に展開するだけですね。

(左辺)=E(x+y)^4-3(E(x+y)^2)^2(展開して独立性を考慮するとxとyの一次の項が出てくるので、そこは平均が0になる)
=Ex^4+6Ex^2Ey^2+Ey^4-3((Ex^2)^2+2(Ex^2)(Ey^2)+(Ey^2)^2)
=kurt(x)+kurt(y)

オッケイですね。

それと、kurt(cx)=c^4kurt(x)も成立します。(これは期待値の定義から明らかですね)

キュムラントもこのような性質を満たすようです。(まだ計算してない)

話が前後するが、白色とは、

 EX=0,R_X=C_X=\sigma^2 I

となる確率ベクトルXのことを言います。(\sigma^2は1となることが多いようです。また、\sigma^2は、Xの成分に共通のする2次モーメントのことを言います。\sigma_{x_i}^2とかは考えないんですかね。)