僕は、セッション(session)の仕組みがわかってない。

本に書いてあるやつが間違ってたわけじゃない。

localhostで、実行したら、ちゃんと$SESSION[""]が残ってた。

サーバーの仕様の問題だと思う。

追記：
実際、サーバー側で制限してるらしい。(php.iniとか見ればいいのかもしらんが。動見るのかしらん)

それで、サーバーを変えたら、できた。おめでとう！